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Imagine se agora ao invés de uma raiz (número irracional) no denominador você tenha uma soma ou uma subtração de raizes.O que fazer? Multiplicamos pela mesma subtração/soma que temos?
Veja o que acontece se você multiplicar pelo mesmo valor:
Conclusão: Nao irá adiantar multiplicar pelo mesmo valor, pois continuaremos com uma raiz no denominador. Saída: Utilizaremos o método "diferença de quadrados" para nos ajudar, uma vez que com esse produto notável teremos o quadrado de um número e o quadrado do outro número. Oras! Se temos duas raizes e você faz o quadrado de uma menos o quadrado da outra (e só!), pronto! Eliminamos os números irracionais do denominador. Veja:
Veja que utilizando a regra da 'diferença de quadrados' conseguiremos eliminar as raizes de uma soma/subtração que esteja no denominador. Logo:
1)Se houver uma soma de raizes no denominador, utilize os mesmos números com uma subtração;
2)Se houver uma subtração de raizes no denominador, utilize os mesmos números com uma soma;
Vamos relembrar sobre multiplicação de raizes.
Ao multiplicarmos duas raizes com o mesmo índice, podemos, pela propriedade, manter a raíz e o índice e fazer a multiplicação dentro de uma mesma raíz. Vejamos a multiplicação de algumas raizes quadradas:
O mesmo acontece para raizes com outros índices:
Para as raizes quadradas é fácil verificar que ao multiplicarmos uma raíz quadrada por ela mesmo, o resultado é o próprio radicando (número no interior da raíz). Ouviremos dizer que será cancelado o indice da raíz com o expoente do radicando, tirando este da raíz.
E como fariamos então para que a multiplicação de raizes de índice diferente de 2 nos retorne o mesmo valor do radicando, ou seja, como fazer para cancelar o índice com o expoente do radicando?
Para raizes cúbicas, precisaremos de um número elevado a 3 dentro da raíz. Portanto, precisaremos multiplicar raizes até que o radicando obtenha expoente 3. Para raizes de índice 4, precisaremos de expoente 4, e assim por diante. Veja:
Então, na hora de fazermos a racionalização de denominadores, onde é necessário transformar um número irracional em outro racional (deixar um número fora da raiz) no denominador, utilizaremos essa propriedade da multiplicação de raizes.
Ou seja, iremos buscar uma multiplicação onde o expoente do radicando seja igual ao índice da raíz.
Algumas vezes em Matemática aparecerão raizes nos denominadores, aquelas que não têm como resposta um número real. É nessa hora que devemos racionalizar o denominador. Esse método consiste em transformar o denominador irracional em um denominador racional, sem nunca trocar o valor da fração.
Em Matemática existem duas operações que podemos usar onde não se troca o valor da expressão que temos:
1) Somar zero;
2) Multiplicar por um.
Usaremos a segunda opção para a racionalização.
Então para racionalizar iremos multiplicar nossa fração que possui denominador irracional por UM (1).
Pra isso devemos lembrar duas coisas:
1) Toda fração que possui o numerador igual ao denominador tem valor UM.
2) Toda vez que multiplicamos uma raiz por outra de mesmo índice, onde o expoente do radicando fica igual ao índice da raiz, podemos "cortar a raiz" com o expoente, sobrando como resultado o próprio radicando.
Exemplo:
Então, o que iremos fazer é multiplicar nossa fração com denominador irracional por "um". Mas esse "um" será outra fração em que ao multiplicarmos pela nossa fração com denominador irracional, o denominador se torne um número racional, ou seja, na multiplicação de duas raizes "cortamos" a raíz.
Esse processo é mais fácil com raizes quadradas. As outras raizes veremos em aula.
Veja exemplos:
O principal próposito da racionalização de denominadores é que a divisão de um número, seja ele racional ou irracional, por um número irracional implica num erro grande. Já a divisão de um número, seja ele racional ou irracional, por um número racional implica num erro pequeno (ou nulo).
PS22 Chorus é o coral de uma escola Fundamental, em Graniteville, localizada ao Sudeste de Nova Iorque. É composto por cerca de 60 alunos e dirigida por Gregg Breinberg. No começo do ano é feita uma seleção dos alunos que irão participar do grupo.
PS22 (codinome para Public School 22) é a maior escola de Fundamental da região e é formada por grande diversidade étnica e sócio-econômica. Ganhou destaque nos principais noticiários norte-americanos e reconhecimento internacional, após o grande número de acessos a seus vídeos no Youtube. Em fevereiro de 2010 seus vídeos tinham sido assistidos por mais de 13 000 000 de vezes.
Veja esse vídeo da música "Forever Young" de Alphaville. Abaixo tem a letra e a tradução.
Letra:
[Sempre Jovem]
Vamos dançar com estilo, vamos dançar um pouquinho
O paraíso pode esperar nós só estamos olhando o céu
Torcendo pelo melhor mas esperando o pior
Afinal, você vai nos detonar ou não
Nos deixe morrer jovens ou viver pra sempre
Não temos o poder mas nunca dizemos nunca
Brincando numa caixa de areia, a vida é uma viagem curta
E a música é para pessoas tristes
Você consegue imaginar quando essa corrida acabar?
Nossos rostos bronzeados virados pro sol
Elogiando nossos líderes estamos entrando no tom
E a música é tocada por loucos
Pra sempre jovem, eu quero ser sempre jovem
Você realmente quer viver pra sempre pra sempre e todo sempre
Pra sempre jovem, eu quero ser sempre jovem
Você realmente quer viver pra sempre? Pra sempre jovem
Alguns são como água, outros como fogo
Uns são a melodia e outros são o ritmo
Cedo ou tarde todos terão virado poeira
Porque não continuam jovens
É tão difícil ficar velho sem um propósito
Eu não quero ser sacrificado como um cavalo inútil
A juventude é como um diamante ao sol
E os diamantes são eternos
Tantas aventuras não aconteceram hoje
Tantas canções esquecemos como tocar
Tantos sonhos aparecendo do nada
Nós os tornaremos realidade
Pra sempre jovem, eu quero ser pra sempre jovem
Você realmente quer viver pra sempre jovem, pra sempre e todo sempre
Pra sempre jovem, eu quero ser pra sempre jovem
Você realmente quer viver pra sempre jovem, pra sempre e todo sempre
Pra sempre jovem, eu quero ser pra sempre jovem
Você realmente quer viver para sempre?
(tirada de http://vagalume.uol.com.br/)
Pessoal, às vezes a postagem fica um pouco comprida. Então ela nao irá aparecer por inteira, vai parecer sem nexo, sem fim cabivel. Mas é só clicar em 'mais informações' para ver o post completo!!!! Fica a dica...
Na próxima aula veremos sobre o dispositivo de Briot-Ruffini que é uma maneira de diminuir o grau de um polinômio. Por exemplo, se um polinômio tem grau 3 (o maior expoente do x é 3), conseguimos transformá-lo em um polinômio do grau 2 (dado uma de suas raizes).
Ele consiste em dividir o polinômio que temos por outro, a partir de um binômio do tipo (x-a), onde x é nossa incógnita e a é a raiz do polinômio. Lembre-se que a raíz de um polinômio é aquele número que se substituirmos no lugar de x, tornará o resultado da conta nulo (zero).
Vamos lá:
Exemplo: P(x)=3x³-6x²-15x+18, com raíz 1 e onde seus coeficientes numéricos são a = 3, b = -6, c = -15 e d = 18.
Depois de colocados os coeficientes e a raíz, multiplicaremos o termo da linha de baixo pela raíz e em seguida somamos com o próximo coeficiente numérico.
E assim sucessivamente.
Os novos valores encontrados abaixo são nossos novos coeficientes numéricos do polinomio de grau menor que procurávamos. No caso temos a = 3, b = -3 e c = -18. Logo, nosso novo polinômio com grau (2) menor é 3x² - 3x - 18. O zero que aparece é o resto da divisão.
Veja a questão 4 da prova e verifique que nao era nenhum bixo de 7 cabeças:
(observação: cliquem nas fotos para ampliá-las!)
Associe com os produtos notáveis/métodos para fatorar:
Depois de fazer a associação é só descobrir quem é o "a" e o "b" e colocar na multiplicação,como sabemos:
1) (a+b)²
2) (a+b)³
3) (a+b)(a-b)
4) (a+b+c)²
5) fatorar em pares primeiro
6) achar o termo comum e colocar em evidência.
Hoje durante a realização da prova acho que deu para perceber duas coisas:
1) Mesmo que você faça os exercícios propostos e tenha facilidade em Matemática, é capaz que no dia da prova dê um branco ou você nao lembre de algumas resoluções.
2) Agora se você não faz tarefa, no dia da prova fica quase que impossível!
Portanto galera, passou da hora de separarmos conversas e risadas (coisa que eu também gosto muito) da hora de estudar, ok?
Como já diria um professor meu de Musculação/Natação: "Não adianta vir um dia na academia e ficar olhando no espelho pra ver se está forte".
Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente.
Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança:
O mais velho receberia a metade.
Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!
O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo!
O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!
Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:
- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem doarei nosso camelo para vocês.
Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:
. o mais velho recebe: metade de 36 = 18
. o irmão do meio recebe: um terço de 36 = 12
. o caçula recebe: um nono de 36 = 4
Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.
Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?
Ouçamos de novo nosso matemático:
- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.
Veja que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?
O livro O Homem que Calculava é um romance infanto-juvenil do escritor brasileiro Malba Tahan , que narra as aventuras e proezas matemáticas do calculista persa BeremizSamir na Bagdá do século XIII. A narrativa, dentro da paisagem do mundo islâmico medieval, trata das peripécias matemáticas do protagonista, que resolve e explica, de modo extraordinário, diversos problemas, quebra-cabeças e curiosidades da matemática.
Inclui, ainda, lendas e histórias pitorescas, como, por exemplo, a lenda da origem do jogo de xadrez e a história da filósofa e matemática Hipátia de Alexandria.
Esse livro é muito gostoso de ler e traz muitas brincadeiras e charadas Matemáticas. Fica aí a dica!
Veja esse vídeo da música "Forever Young" de Alphaville. Abaixo tem a letra e a tradução.
